高展网为您带来《二分法求方程的近似解(二分法求近似解的次数)》，本文围绕二分法求方程的近似解展开分析，讲述了关于二分法求方程的近似解相关的内容，希望您能在本文中获取到有价值的信息！
【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
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对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
解释 求，的零点很容易，因为我们会求其方程的解，而函数或的零点怎么求呢？我们求不出来会退而求其次，能否能知道零点的近似值呢？应该会想到函数零点存在性定理，没错这它就是二分法的理论基础.
【例】 下列函数中，你会用二分法求其零点的是（ ）
A. B. C. D.
解析 很容易通过解方程得到其零点，而根本没零点，项无法通过方程求解，可用二分法求解，故选.
(1) 确定区间，验证，给定精确度；
(2) 求区间的中点;
(3) 计算，
(i) 若 , 则就是函数的零点；
(ii) 若，则令(此时零点)
(iii) 若，则令(此时零点)
(4) 判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值为(或)；否则重复(2)~(4)
解释
（1）使用二分法的前提是函数在所选定的区间上的图象是连续不断的，且；
（2）所选的区间的范围尽量小，且比较容易求;
（3）利用二分法时，满足精确度便可停止计算.
【例】 用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，可得的一个零点的近似值(精确度)为．
解析：由参考数据知，，即，
且，
函数的一个零点的近似值可取为．
答案：(答案不唯一)
【典题1】 求方程 的近似解(精确度)．
解析 如图所示，由函数与 的图象可知，
方程 有唯一实数解，且在区间内．
设 , ，用计算器计算，列表如下：
取值区间
中点值
中点函数近似值
区间长度
由于区间的长度为，此时该区间中点与真正零点的误差不超过，
所以函数的零点近似值为，
即方程 的近似解为．
【典题2】 某电脑公司生产种型号的笔记本电脑，2008年平均每台电脑生产成本为元，并以纯利润标定出厂价．从2009年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，2012年平均每台种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2008年出厂价的，但却实现了纯利润的高效益．
(1)求2012年每台电脑的生产成本；
(2)以2008年的生产成本为基数，用二分法求2008～2012年生产成本平均每年降低的百分率(精确到)．
解析 (1)设2012年每台电脑的生产成本为元，
根据题意，得，解得(元)．
故2012年每台电脑的生产成本为元．
(2)设2008～2012年生产成本平均每年降低的百分率为，根据题意，得，
令，作出，的对应值表：
观察上表，可知，说明此函数在区间内有零点．
取区间的中点，可得．
因为，
所以．
再取区间的中点，可得．
因为，
所以．
同理可得，， ，，，
由于，此时区间的两个端点精确到的近似值都是，所以原方程的近似解为．
故2008～2012年生产成本平均每年降低的百分率为．
1.用二分法研究函数的零点时，第一次计算，可得其中一个零点，第二次应计算．以上横线上应填的内容为( )
A． B． C． D．
2.在用“二分法”求函数零点近似值时，若第一次所取区间为 ，则第三次所取区间可能是 ( )
A． B． C． D．
3.若函数的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下：
那么方程的一个近似根(精确度)为( )
A． B． C． D．
4.用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为( )
A． B． C． D．
5.求方程的近似解(精确到)．
6.某企业现有资产亿，计划平均每年增长，问要使资产达到亿，需几年？(列出方程，利用二分法求解，结果取整数)
7.中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖给选手．某次猜一种品牌的手机，手机价格在元之间，选手开始报价：元，主持人说：高了．选手紧接着报价元，高了；元，低了；元，高了；元，低了；元，恭喜你，猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
参考答案
答案
解析 二分法要不断地取区间的中点值进行计算，由知，
再计算与的中点处相应的函数值，以判断的更准确位置．
答案
解析 第一次所取的区间是 ，
第二次所取的区间可能为 ，
第三次所取的区间可能为 ．
故选：．
答案
解析 因为函数在定义域上时连续的，
又根据表格中数据可知，，
则由函数零点判定定理可知方程的一个根在上，精确后得，
故选：．
答案
解析 根据题意，原来区间区间的长度等于，每经过二分法的一次操作，
区间长度变为原来的一半，则经过次操作后，区间的长度为 ，
若 ，即；故选：．
答案
解析 使用计算器或计算机，最好使用几何画板软件，画出函数的图象，
利用数形结合的方法估算出方程的解所在的一个区间．
如图所示，由函数与的图象，
可以发现，方程有唯一解，记为，并且这个解在区间内，
设，用计算器计算，得
,，
，
，
，
．
因为与精确到的近似值都为，所以原方程的近似解为．
答案
解析 设需要 年，由题意得：
即有
令 ，借助计算机作出函数的图象如图所示．
若时，取区间的中点，计算，
，．
再取区间的中点，
计算，．
再取区间的中点，计算，
．
要求结果取整数．故取．
解析 取价格区间的中点，如果主持人说低了，就再取区间的中点；
否则取另一个区间的中点；若遇到小数，则取整数，
照这种方案，游戏过程猜价如下：，经过次可以猜中价格．
1.下列函数中，不能用二分法求函数零点的是( )
A． B． C． D．
2.下列选项中不能用二分法求图中函数零点近似值的是
A． B． C． D．
3.用二分法求函数零点时，用计算器得到如表：
则由表中数据，可得到函数的一个零点的近似值(精确度为)为( )
A． B． C． D．
4.[多选]某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，,,,,，下列说法正确的有 ( )
A．精确到的近似值为 B．精确到的近似值为
C．精确到的近似值为 D．精确到的近似值为
5.用二分法研究函数的零点时，第一次经计算,，可得其中一个零点，那么经过下一次计算可得 (填区间)．
6.用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，可得的一个零点的近似值(精确度)为．
7.求方程在区间内的一个近似解(精确度)．
8.求方程 的近似解(精确度)．
9.在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段地查找，困难很大．每查一个点要爬一次电线杆子，长，大约有多根电线杆子呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
参考答案
答案
解析 ．函数的值域为，可以使用二分法
．函数的值域为，不能使用二分法．
．，可以使用二分法求解函数的零点；
．的值域为，可以使用二分法，求解函数的零点；
故选：．
答案
解析 由图象可知，中图象的零点是不变号零点，
其它图象中零点都是变号零点，故不能用二分法求零点近似值．故选：．
答案
解析 在区间之间，根据零点存在性定理有零点，
取中点，不满足，取，
再取中点，满足零点存在性定理，
再取中点，
故选：．
答案
解析 ,，
零点在内，
又，则正确，错误；
,，
，故错误．
故选：．
答案
解析 函数，，，
，
经过下一次计算可得 ．
故答案为 ．
答案 (答案不唯一)
解析 由参考数据知，，
即，且，
函数的一个零点的近似值可取为．
答案：(答案不唯一)
答案
解析 函数在区间内的一个零点附近曲函数值用二分法逐次计算列表如下
由图中参考数据可得，又因为题中要求精确到，
所以近似解为．
答案
解析 原方程可化为 ，即3^x=x/(x+1)-1．
在同一坐标系中，分别画出函数与 的简图，如图所示：
与的图象交点的横坐标位于区间且只有一个交点，
原方程只有一解．
令 ，
， ，
.
用二分法求解，列表如下
中点值
中点（端点）函数值
取值区间
，
原方程的近似解可取为．
答案 一、两根电线杆附近
解析 先检查中间一根电线杆，则将故障的范围缩小一半，再用同样方法依次检查下去．
如图，维修工人首先从中点查．用随身带的话机向两端测试时，发现段正常，断定故障在段，再到段中点，这次发现段正常，可见故障在段，再到段中点去查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，要把故障可能发生的范围缩小到至，即一、两根电线杆附近．
1.用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为( )
A． B． C． D．
2.设正有理数是 的一个不足近似值，令 ，求证：
(1) 介于与之间； (2) 比更接近于 ．
参考答案
答案
解析 根据题意，原来区间区间的长度等于，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，则经过次操作后，区间的长度为 ，
若 ，即；故选：．
证明 (1) ，
若 ， ，而 ，
,
若 ， ，而 ，
，
故 介于与之间；
(2) ，
, , ，
,
,
比更接近于 ．
1.在枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最少称次就可以发现假币．
2.利用二分法求 的近似值(精确度)
参考答案
答案
解析 将枚金币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那枚金币里面，将这枚平均分成两份，则假币一定在轻的那枚金币里面，将这枚金币任拿出枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则轻的那一枚即是假币．依据上述分析，最少称次就可以发现这枚假币．故答案为：.
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